抽象代数基本概念——群、环、域

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抽象代数(近世代数)中存在群、环、域的概念。在各种算法或者题解中可能涉及这些基础概念。

群(Group)

群的概念

设非空集合G,并且在G上存在一种二元计算，把运算符号记为**“∙”**

如果该计算满足下列性质，我们就认为**(G,∙)**是一个群

  1. 结合律：（a∙b)∙c = a∙(b∙c)
  2. 单位元：存在e∈G,使得a∙e = e∙a = a，把e称为G的单位元，或者称为幺元
  3. 逆元：对于所有的a∈G，都有对应的b∈G，使得a∙b = b∙a = e，把b称为a的逆元
  4. 封闭性：a∈G,b∈G，那么二元运算a∙b∈G

由这几条性质我们可以找到很多群的例子

比如在所有整数构成的集合Z上做加法、乘法

也可以是集合{0，1，2，3}上定义二元运算为模4加法

更多更多的群

条件更严格的

Abel群(交换群)

如果一个群还满足交换律：对于所有的a∈G，的b∈G，都有a∙b = b∙a，那么这个群是一个Abel群或交换群

条件更宽泛的

半群：只要求结合律

幺半群：只要求结合律和单位元

环(Ring)

环的概念

环是群的plus版，环要求在一个非空集合R上定义两种运算,” + “和“ ∙ ”（为表述方便我们常常将它们称为环上的加法和乘法），与群相似的记作**(R,+,∙)**

如果它们满足以下性质，将(R,+,∙)称为环

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1.(R,+)构成Abel群
结合律+交换律+单位元+逆元，并且把单位元记为0，a的逆元记为-a
2.(R,∙)构成半群
仅需满足结合律
3.(R,+,∙)满足分配律
a∙(b+c) = a∙b + a∙c

应当特别注意！！

环的定义对*乘法的要求有一定争议：是否要求乘法单位元1？*

因此我们在见到环时需要特别关心上下文中乘法的性质

更多更多的环

环的加法已经趋于完善，但乘法结构就很简陋

如果我们继续对乘法做出更多的要求，就能得到更多环的定义

  1. 幺环：含有乘法单位元
  2. 除环：环上的所有非零元素，都含有乘法逆元
  3. 交换环：乘法满足交换律
  4. 平凡环：只含有元素0的环

重点强调：零因子(zero divisor)

零因子的概念极为特殊，相比于我们日常的数学，环上的乘法很病态

看零因子的定义：

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对于环(R,+,∙)，如果存在b∈R且b≠0，使得a∙b=0或者b∙a=0,则称非零元素a为一个零因子

应当注意

1.零因子为非零元素

2.零因子不一定满足交换律，如矩阵乘法中存在左零因子和右零因子(ab=0,那么a是b的左零因子)

3.零因子具有相对性，当a是b的零因子，不能说明a是c的零因子

根据3，我们也很容易发现，有零因子存在的环中，乘法不存在消去律；无零因子存在的环中，乘法存在消去律

一个环上可能不存在零因子，也可能存在一个/多个/无限个零因子

更多更多更多的环

明确了零因子的概念之后，我们就可以引入更多的环

整环：

对于非零环(R,+,∙),如果它是交换环，有乘法单位元，无零因子，称它为整环。

非零环即至少包含两个不同德元素的环——即加法零元0和至少一个非零元素

环的定义上就隐含了一个信息——环的元素必定有0

显然，整环上的乘法具有消去律：

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设整环R有元素a,b,c∈R,且a≠0,如果ab=ac，那么b=c

域(Field)

参见另一篇博客（并不详细）

域和有限域